شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | تعداد جواب های دستگاه](https://dl2.my-dars.com/upload/image/061744015509.jpg)
\(\begin{array}{l}ax + by = m\\\\cx + dy = n\end{array}\)
\(\frac{a}{c} \ne \frac{b}{d}\)
\(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{m}{n}\)
\(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} \ne \frac{m}{n}\)
مثال
به ازای چه مقادیری از k دستگاه \(\begin{array}{l}kx + 3y = 4\\x - 2y = 3\end{array}\) یک دسته جواب منحصر به فرد دارد؟
\(\frac{k}{1} \ne \frac{3}{{ - 2}} \Rightarrow - 2k \ne 3 \Rightarrow k \ne - \frac{3}{2}\)
ویژگی 1:
\(\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right|\)
ویژگی 2:
\(\begin{array}{l}\left| {kA} \right| = {k^n} \times \left| A \right|\\\\k \in \mathbb{R}\end{array}\)
در اینجا n مرتبه ماتریس A است.
مثال
\(\begin{array}{l}{A_{3 \times 3}}\\\\\left| {2A} \right| = {2^3}\left| A \right| = 8\left| A \right|\end{array}\)
ویژگی 3:
\(\left| {{A^{ - 1}}} \right| = \frac{1}{{\left| A \right|}}\)
ویژگی 4:
\(\left| {{A^n}} \right| = {\left( {\left| A \right|} \right)^n}\)
1 اگر \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5\left| A \right|}&{\left| A \right|}\\5&{4{{\left| A \right|}^2}}\end{array}} \right]\) در این صورت حاصل (\({\left| A \right|^3} - 2\) ) را بدست آورید.
\(\begin{array}{l}\left| A \right| = 20{\left| A \right|^3} - 5\left| A \right| \Rightarrow \left| A \right| = t\\\\t = 20{t^3} - 5t \Rightarrow 20{t^3} - 6t = 0\\\\t\left( {20{t^2} - 6} \right) = 0 \Rightarrow t = 0\; \vee \;20{t^2} - 6 = 0\\\\20{t^2} = 6 \Rightarrow {t^2} = \frac{6}{{20}} \Rightarrow t = \pm \sqrt {\frac{3}{{10}}} \\\\ \Rightarrow \left| A \right| = 0\; \vee \;\left| A \right| = \pm \sqrt {\frac{3}{{10}}} \\\\\left| A \right| = 0 \Rightarrow \left( {{{\left| A \right|}^3} - 2} \right) = {0^3} - 2 = - 2\\\\\left| A \right| = \pm \sqrt {\frac{3}{{10}}} \Rightarrow \left( {{{\left| A \right|}^3} - 2} \right) = {\left( { \pm \sqrt {\frac{3}{{10}}} } \right)^3} - 2\end{array}\)
2 ثابت کنید وارون ماتریس A در صورت وجود یکتا است.
فرض کنیم B و C وارون های ماتریس A باشند.
اگر B وارون A باشد:
\(1)\;BA = AB = I\)
اگر C وارون A باشد:
\(2)\;CA = AC = I\)
حال طبق رابطه 1 و 2 اثبات می کنیم:
\(\begin{array}{l}C = CI = C\left( {AB} \right) = \left( {CA} \right)B = IB = B\\\\B = BI = B\left( {AC} \right) = \left( {BA} \right)C = IC = C\end{array}\)
1736019749.png)
